范数 & 条件数

向量范数

理解

三维空间中向量长度的推广

定义

正定性（非负性）

$|x|\geqslant0 （当且仅当x=0时|x|=0）$

齐次性（均匀性）

$|\alpha x|=|\alpha| |x|$

次可加性（三角不等式）

$|x+y|\leqslant|x|+|y|$

向量的范数

p-范数

$|x|_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{1/p}$

1-范数

$|x|_1=\sum_{i=1}^{n}|x_i|$

2-范数(欧式范数)

$|x|_2=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2)^{1/2}$

∞-范数(最大范数)

$|x|_\infty=\lim_{p\rightarrow\infty}(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{1/p}=\max_{1\leqslant i \leqslant n}|x_i|$

证明:
记 $t=\max_{1\leqslant i \leqslant n}|x_i|$ ，则有:
$\begin{align} \eqalign{ |x|_\infty& =\lim_{p\rightarrow\infty}(|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}\\ & =t\lim_{p\rightarrow\infty}(|\frac{x_1}{t}|^p+|\frac{x_2}{t}|^p+\ldots+|\frac{x_n}{t}|^p)^{1/p}\\ & =t } \end{align}$
上式中，运用到了夹逼准则：
$\lim_{p\rightarrow\infty}1^{1/p}\leqslant\lim_{p\rightarrow\infty}(|\frac{x_1}{t}|^p+|\frac{x_2}{t}|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}\leqslant\lim_{p\rightarrow\infty}n^{1/p}$
而
$\lim_{p\rightarrow\infty}1^{1/p}=\lim_{p\rightarrow\infty}n^{1/p}=1$

性质与应用

向量范数的等价性

$c_1\leqslant\frac{|x|_s}{|x|_t}\leqslant c_2 (c_1,c_2>0)$

证明
只要就 $|x|_s=|x|_\infty$ 证明上式成立即可，即证明存在常数 $c_1,c_2>0$ ，使
$c_1\leqslant\frac{|x|_s}{|x|_\infty}\leqslant c_2 (对一切x\in R^n且x\neq0)$
考虑函数

向量的极限

$\lim_{k\rightarrow\infty}x_i^{(k)}=x_i^{*}$

向量范数的连续性

证明

十八仙僧の理想国