向量范数
理解
三维空间中向量长度的推广
定义
正定性(非负性)
|x|⩾0(当且仅当x=0时|x|=0)
齐次性(均匀性)
|αx|=|α||x|
次可加性(三角不等式)
|x+y|⩽|x|+|y|
向量的范数
p-范数
|x|p=(n∑i=1|xi|p)1/p
1-范数
|x|1=n∑i=1|xi|
2-范数(欧式范数)
|x|2=(n∑i=1|xi|2)1/2
∞-范数(最大范数)
|x|∞=limp→∞(n∑i=1|xi|p)1/p=max1⩽i⩽n|xi|
证明
:
记t=max1⩽i⩽n|xi|,则有:
|x|∞=limp→∞(|x1|p+|x2|p+…+|xn|p)1/p=tlimp→∞(|x1t|p+|x2t|p+…+|xnt|p)1/p=t
上式中,运用到了夹逼准则:
limp→∞11/p⩽limp→∞(|x1t|p+|x2t|p+…+|xn|p)1/p⩽limp→∞n1/p
而
limp→∞11/p=limp→∞n1/p=1
性质与应用
向量范数的等价性
c1⩽|x|s|x|t⩽c2(c1,c2>0)
证明
只要就|x|s=|x|∞证明上式成立即可,即证明存在常数c1,c2>0,使
c1⩽|x|s|x|∞⩽c2(对一切x∈Rn且x≠0)
考虑函数
向量的极限
limk→∞x(k)i=x∗i
向量范数的连续性
证明