向量范数
理解
三维空间中向量长度的推广
定义
正定性（非负性）
$$|x|\geqslant0 （当且仅当x=0时|x|=0）$$
齐次性（均匀性）
$$|\alpha x|=|\alpha| |x|$$
次可加性（三角不等式）
$$|x+y|\leqslant|x|+|y|$$
向量的范数
p-范数
$$|x|_p=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{1/p}$$
1-范数
$$|x|_1=\sum_{i=1}^{n}|x_i|$$
2-范数(欧式范数)
$$|x|_2=(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2)^{1/2}$$
∞-范数(最大范数)
$$|x|_\infty=\lim_{p\rightarrow\infty}(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{1/p}=\max_{1\leqslant i \leqslant n}|x_i|$$
证明:
记$t=\max_{1\leqslant i \leqslant n}|x_i|$，则有:
\begin{align}
\eqalign{
|x|_\infty& =\lim_{p\rightarrow\infty}(|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}\\
& =t\lim_{p\rightarrow\infty}(|\frac{x_1}{t}|^p+|\frac{x_2}{t}|^p+\ldots+|\frac{x_n}{t}|^p)^{1/p}\\
& =t
}
\end{align}
上式中，运用到了夹逼准则：
$$\lim_{p\rightarrow\infty}1^{1/p}\leqslant\lim_{p\rightarrow\infty}(|\frac{x_1}{t}|^p+|\frac{x_2}{t}|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}\leqslant\lim_{p\rightarrow\infty}n^{1/p}$$
而
$$\lim_{p\rightarrow\infty}1^{1/p}=\lim_{p\rightarrow\infty}n^{1/p}=1$$
性质与应用
向量范数的等价性
$$c_1\leqslant\frac{|x|_s}{|x|_t}\leqslant c_2 (c_1,c_2>0)$$
证明
只要就$|x|_s=|x|_\infty$证明上式成立即可，即证明存在常数$c_1,c_2>0$，使
$$c_1\leqslant\frac{|x|_s}{|x|_\infty}\leqslant c_2 (对一切x\in R^n且x\neq0)$$
考虑函数
$$$$
向量的极限
$$\lim_{k\rightarrow\infty}x_i^{(k)}=x_i^{*}$$
向量范数的连续性
证明