范数 & 条件数


向量范数

理解

三维空间中向量长度的推广

定义

正定性(非负性)

|x|0x=0|x|=0

齐次性(均匀性)

|αx|=|α||x|

次可加性(三角不等式)

|x+y||x|+|y|

向量的范数

p-范数

|x|p=(ni=1|xi|p)1/p

1-范数

|x|1=ni=1|xi|

2-范数(欧式范数)

|x|2=(ni=1|xi|2)1/2

∞-范数(最大范数)

|x|=limp(ni=1|xi|p)1/p=max1in|xi|

证明:
t=max1in|xi|,则有:
|x|=limp(|x1|p+|x2|p++|xn|p)1/p=tlimp(|x1t|p+|x2t|p++|xnt|p)1/p=t


上式中,运用到了夹逼准则:
limp11/plimp(|x1t|p+|x2t|p++|xn|p)1/plimpn1/p


limp11/p=limpn1/p=1

性质与应用

向量范数的等价性

c1|x|s|x|tc2(c1,c2>0)

证明
只要就|x|s=|x|证明上式成立即可,即证明存在常数c1,c2>0,使
c1|x|s|x|c2(xRnx0)


考虑函数

向量的极限

limkx(k)i=xi

向量范数的连续性

证明

参考文献